보존적 조건: 단순 연결 영역에서 편미분이 같아야 하므로 \dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{\partial F}{\partial y}이다.
\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+3y^2)=2x
\dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x
2x=2x이므로 보존적이다.
f_x=2xy → f(x, y)=x^2y+g(x)
f_y=x^2+g'(y)를 F=x^2+3y^2과 비교 → g'(x)=3y^2 → g(x)=y^3+C
따라서 f(x, y)=x^2y+y^2+C이다.