구간의 끝 혹은 \displaystyle f'(x)=0이 되는 지점에 최솟값이 있다.

\displaystyle f'(x)=(x)' \ln x + x(\ln x)' = \ln x + 1 = 0이 성립하는 \displaystyle x=\dfrac{1}{e}이다.

양 끝 \displaystyle x=\dfrac{1}{e^{2}}, \,\, x=e와 \displaystyle x=\dfrac{1}{e}에서의 함수값을 비교한다.

\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e^{2}}\right)=\dfrac{1}{e^{2}} \ln \dfrac{1}{e^{2}} = \dfrac{1}{e^{2}}(-2) = -\dfrac{2}{e^{2}}

\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e}\ln \dfrac{1}{e} = \dfrac{1}{e}(-1) = -\dfrac{1}{e}

\displaystyle f(e)= e\ln e = e

이 중 \displaystyle f\left(\dfrac{1}{e^{2}}\right)와 \displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)를 비교한다.

\displaystyle -\dfrac{2}{e^{2}} > -\dfrac{e}{e^2} = -\dfrac{1}{e} 이므로
\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right) = -\dfrac{1}{e}가 최소이다.