x \to 1일 때 \infty - \infty 꼴입니다. 통분하여 \dfrac{0}{0} 꼴로 변환한다.

\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1) - \ln x}{(x - 1)\ln x}

x = 1을 대입하면 \dfrac{0}{0} 꼴이므로 로피탈 정리를 적용한다.

\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\dfrac{d}{dx}(x - 1 - \ln x)}{\dfrac{d}{dx}((x - 1)\ln x)} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{1 - \dfrac{1}{x}}{(1)\ln x + (x - 1)\left(\dfrac{1}{x}\right)}

x = 1을 대입하면 다시 \dfrac{0}{0} 꼴이므로 로피탈 정리를 한 번 더 적용한다.

\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\dfrac{d}{dx}(1 - x^{-1})}{\dfrac{d}{dx}\left(\ln x + 1 - \dfrac{1}{x}\right)} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{-2}}{\dfrac{1}{x} + x^{-2}}

x = 1을 대입하면 \displaystyle \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}이다.